叠加定理

介绍

在分析由两个或两个以上独立源(电压或电流或两者都有)组成的线性电路时，经常使用叠加定理(特别是对于元件工作在不同频率下的时域电路)。如果一个线性直流电路有多个独立的电源，我们可以通过节点或网格分析方法找到电流(通过一个电阻)和电压(通过电阻)。

或者，我们可以使用叠加定理，将每个单独的源效应加到待确定变量的值上。这意味着叠加定理将给定电路中的每个源分别考虑，求出变量的值(无论是电流还是电压)，最后将每个源效应引起的所有变量相加，得到合成变量。虽然程序复杂，但仍然可以应用于任何线性电路。

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叠加定理的声明

叠加定理表明，在任何由两个或多个独立源组成的线性双边网络中，通过一个元件的电流(或电压)是通过该元件的电流(电压)的代数和，每个独立的电源与其他所有电源单独作用，被它们的内阻取代。我们知道，只要源与贡献之间存在线性关系，各源同时作用的总贡献等于单个源在同一时间作用的单个贡献的代数和。

因此，如果电路由N个独立的电源组成，我们必须分析N个电路，每一个电路都会产生一个与每个独立电源相关的结果。最后，这些单独的结果必须加上去得到整个电路的分析。因此，这需要更多的工作，然而，这个定理将是非常有用的分析一个复杂电路的各个部分。

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分析叠加定理的步骤

1.考虑给定电路中各种独立的电源。

2.选择并保留一个独立的电源，用内阻替换所有其他电源，或者用开路和短路的电压源替换电流源。

3.为避免混淆，请适当地重新标记电压和电流符号。

4.找出所需的电压/电流由于一个源单独作用，使用各种电路减少技术。

5.对给定电路中的每个独立电源重复步骤2到4。

6.用代数方法将每个源获得的所有电压/电流相加(在相加时考虑电压符号和电流方向)。

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例子:

1.让我们考虑下面简单的直流电路来应用叠加定理，这样我们将获得电阻10欧姆(负载端子)的电压。假设在一个给定的电路中有两个独立的源作为电压源和电流源，如图所示。

2.首先，我们每次保留一个源，这意味着，只有电压源在电路中起作用，电流源被内阻(无穷大)取代，所以它成为开路如图所示。

考虑V_L1电压源单独作用的负载端子上的电压是吗

V_L1= Vs × R_l/ (R_l+ R₁）

= 20 × 10 / (10 + 20)

= 6。66伏

3.保持电流源不变，用其内阻(零)代替电压源，使其短路，如图所示。

考虑到V_L2是电流源单独作用时负载端子间的电压。然后
V_L2=我_l×R_l

我_l= I × r₁/ (R₁+ R_l）

= 1 × 20 / (20 +30)
= 0.4安培

V_L2= 0.4 × 10

= 4伏

因此，根据叠加定理，负载两端的电压是V的和_L1和V_L2

V_l= V_L1+ V_L2

= 6.66 + 4

= 10.66伏

示例2:

考虑下面的电路，我们要用叠加定理确定通过4欧姆电阻的电流I。

考虑I1、I2、I3分别为源12v、源20V、源4A的电流。然后，根据叠加定理I = I1 + I2 + I3。我们来确定每个源的电流。

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仅配12V电压源:

考虑下面的电路，电路中只保留12V电源，其他电源用内阻代替。

通过组合6欧姆和10欧姆的电阻，我们得到16欧姆的电阻，它与6欧姆的电阻平行。然后这种组合产生16 × 6 /(16 + 6) = 4.36欧姆。因此等效电路将如图所示。

然后电流通过4欧姆的电阻，

我₁= 12 / 8.36

= 1.43

仅配20v电压源:

只保留20v电压源，用其内阻替换其他源，电路变为如下图所示。

将网格分析应用于环a，我们得到

我22 ia - 6_b+ 20 = 0

我22 ia - 6_b= -20 ...................( 1)

对于循环b，我们得到

10我_b- 6Ia = 0

Ia = 10我_b/ 6

把Ib代入方程1

22 (10_b/ 6) - 6我_b= -20

我_b= - 0.65

因此,我₂= Ib = -0.65

只有4A电流源

考虑下面的电路，其中只保留电流源，而用其内阻替换其他源。

通过对节点2进行节点分析，得到:

4 = (V₂/ 10) + (V₂- - - - - - V₁) / 6 ....................( 2)

在node1,

(V₁/ 6) + (V₁/ 4) = (V₂- - - - - - V₁) / 6

V₂= 3.496 V₁

把V2代入方程2，我们得到

V₁= 0.766伏特。

所以我_3.= V₁/ 4

= 0.766 / 4

= 0.19安培。

因此，根据叠加定理，I = I₁+我₂+我_3.

= 1.43 - 0.65 + 0.19

= 0.97安培。

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使用交流电路的叠加例子:

考虑以下交流电路，我们要用叠加定理来确定4欧姆电阻中的电流值。

案例1:仅配备20∠0电压源

通过将电压源单独保留在电路中，通过电路的电流被确定为

∠(I1) = 20∠0/ (4 + j4)

= 20∠0 /(5.65∠45)

∠- 45或∠- j2.49 A

案例2:只有4∠90电流源

通过将电流源单独保留在电路中，通过电路的电流I2被确定为

根据电流除法，∠I2 = 4∠90 × 4j/ (4 + j4)

= 4 × 4∠90

= 4 × 0.707∠45

∠135 = -1.99 +∠1.99 A

通过电阻4欧姆的合成电流为I = I1 + I2

= 3.53∠45 + 2.828∠135

∠45或∠0.56 +∠0.56 A = 0.785

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叠加定理的局限性

1.对于功率计算，不能使用叠加定理，因为这个定理是建立在线性基础上的。因为功率方程不是线性的，因为它是电压和电流的乘积或电流的平方或电压的平方。因此，用叠加定理计算给定电路中元件的功耗是不可能的。

2.如果负载的选择是可变的或负载电阻经常变化，则需要对负载电阻的每次变化执行电流或电压的每个源的贡献及其总和。这是分析复杂电路的复杂过程。

3.这个定理只适用于线性电路，而不适用于非线性电路(有晶体管和二极管)。

4.这个定理只有在电路有多个电源时才适用。

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