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布尔代数定律与定理

布尔代数是数字电子学中用于数字逻辑的一种数学代数形式。Albebra由一个语句(通常是数学语句)的符号表示组成。同样,布尔代数中也有表达式、方程和函数。

任何逻辑设计的主要目标都是尽可能地简化逻辑,从而使最终的实现变得容易。为了简化逻辑,必须简化表示该逻辑的布尔方程和表达式。

因此,为了简化布尔方程和表达式,提出了一些定律和定理。使用这些定律和定理,可以很容易地简化或减少任何布尔表达式或函数的逻辑复杂性。

本文演示了布尔代数中一些最常用的定律和定理。

基本定律与证明

布尔代数系统的基本规则和定律被称为“布尔代数定律”。布尔代数的一些基本定律(规则)是

我结合律。

2分配律

3交换律

四、吸收法

诉法律共识

结合律

联合加法定律

声明:

加法结合律指出,当一个方程中有两个以上的变量时,即对变量进行数学加法运算,结果是相同的,而不考虑变量的分组。
它涉及到在组中交换变量。

使用OR运算符的结合律可以写成

+ (B + C) = (A + B) + C

证明:

如果A, B, C是三个变量,那么3个变量,每个集合2个变量的组合将是3种类型,如(A + B), (B + C), (C + A)。

根据结合律

(A + B + C) = (A + B) + C = A + B (B + C) = + (C + A)

我们知道,A + AB = A(根据吸收定律)

假设x = A + (B + C) y = (A + B) + C

根据结合律,我们需要证明x = y。

现在,找到Ax=A[A+(B+C)]

= a + a (b + c)

= A + AB + AC→since AA = A

= (a + ab) + ac

= A + AC→since A + AB = A

=A→ 因为A+AC=A

因此,Ax = A

类似地,对于Bx = B [A + (B + C)]

= ab + b (b + c)

= ab + bb + BC

= B + B + BC→since B = B

= (b + bc) + ab

B + B→B + B = B

B + AB = B

利用上面的这些方程,我们可以说,A, B, C和+算子之间的关系在乘以其他变量如x时不会改变,比如xy = yx = x = y。

x = (A + B + C) x

= (A + B) x + Cx

= (Ax + Bx) + Cx

= (a + b) + c

=y xy=(A+(B+C))y

= Ay + (B + C) y

= Ay + (By + Cy)

= a + (b + c)

= x

x = y,也就是A + (B +C) = (A + B) +C = B + (A +C)

例子

取三个变量0,1和0

根据结合律,

(0 + 1) + 0 = 0 + (1 + 0)

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

这样就证明了结合律。

由此证明了结合律(A+B+C)=(A+B)+C=A+(B+C)=B+(C+A)

关联乘法定律

声明:

乘法结合律指出,当两个以上变量时,即对一个方程中的变量进行数学乘法运算,无论变量的分组是什么,结果都是相同的。

使用AND算子的结合律可以写成

A * (b * c) = (A * b) * c

分配律

这是布尔代数中最常用和最重要的定律,它涉及到两个运算符:and, OR。

语句1:

将两个变量相乘,并将结果与一个变量相加,得到的结果与该变量与单个变量相加得到的结果相同。

换句话说,对两个变量和另一个变量的结果进行ORing,等于对两个单独变量的变量的ORing的and。

分配律可以写成

A + BC = (A + b)(A + c)

这叫做OR分配到AND上。

证明:

如果A, B和C是三个变量

A + BC = A*1 + BC→since A*1 = A

(1 + B)+ BC→since 1 + B = 1

= a * 1 + ab + BC

=A*(1+C)+AB+BC→ 因为A*A=A*1=A

= a *(a + c) + b (a + c)

= (a + c) (a + b)

A + BC = (A + b) (A + c)

由此证明了分配律。

声明2:

将两个变量相加,并将结果与一个变量相乘,将得到与将变量与单个变量相乘相加相同的值。

换句话说,对两个变量进行ORing并将结果与另一个变量进行ANDing等于或等于该变量与两个单独变量的ANDing。

分配律可以写成

A (b + c) = (A b) + (c)

这叫做AND分布在OR上。

证明:

A (B + C) = A (B*1) + A (C*1)→因为1 * B = B, 1 * C = C

=[(AB)*(A*1)]+[(AC)*(A*1)]

=[(ab) * a] + [(ac) * a]

=(A+1)(AB+AC)

=(AB+AC)→ 因为1+A=1

由此证明了分配律。

例子:

取三个变量0,1和0

根据分配定律,

0 (1 + 0) = (0*1) + (0*0)

0 (1) = (0) + (0)

0 = 0

因此,分配律得到了验证。

交换律

声明:

交换律是指布尔方程中操作数顺序的交换不会改变其结果。

  • 使用OR运算符→A + B = B + A
  • 使用AND操作符→A * B = B * A

这个定律在布尔代数中也有更大的优先权。

例子:

取2个变量1和0

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

同样的,

1 * 0 = 0 * 1

0 = 0

吸收法

吸收定律涉及一对二进制运算的连接。

i. A+AB = A

2一个(A + B) =

3+ĀB = A + B

iv. A.(Ā+B) = B

第三定律和第四定律也被称为冗余定律。

表述1:A + AB = A

证明:

A + A = A + A→A + A = A

1 . A(1+B)→since (1+B) = 1

= .

=一个

表述二:A (A + B) = A

证明:

A (A + b) = A A + A b

= A+AB→since A。一个=

= a (1 + b)

= .

=一个

声明3:A + Āb = A + b

证明:

A+ ĀB = (A+ Ā) (A+B)→since A+BC = (A+B)(A+C

= 1 * (A + B)→since (A + Ā = 1

= A + B

表述4:A * (Ā+B) = AB

证明:A * (Ā + B) = A Ā + AB

= AB→since A Ā = 0

布尔代数中的对偶原理

声明:

对偶原理指出:“表达式的对偶可以通过用ORoperator替换AND操作符,以及替换二进制变量来实现,比如用0替换1,用1替换0”。
这个定律解释了,替换变量并不会改变布尔函数的值。

但是,在交换变量名的同时,还必须改变二元运算符。如果方程或函数的运算符和变量互换后,方程的输出没有变化,则称为“对偶”。

对偶原理也称为“De Morgan对偶”,它表示“布尔代数中对偶对的交换将导致等式的相同输出”。

表格

对偶性中有一种特殊类型的运算,那就是“自我对偶”。自对偶操作将输入处理为输出,而不进行任何更改。所以这也被称为“不做操作”。

例子:

如果我们有像A + B = 0这样的布尔方程,那么用1代替变量0,用and代替OR运算符形成的方程就是A * B = 1。这意味着两个布尔函数都表示逻辑电路的运算。

根据对偶原理,当A、B为两个变量时,对于同一逻辑电路,方程A + B = 0和方程A * B = 1都成立。

布尔函数的对偶化简

用对偶性概念简化布尔函数的例子

(a + b ' c) ' = a ' b c ' + a ' b ' c ' + a ' b ' c '

= a ' b (c + c ') + (b + b ') a ' c '

= a ' b + a ' c '–––––––-> (1)

对两边求逆,方程就变成

(A+B'C)=(A+B')(A+C)–––––––––––––(2)

如果我们观察方程1和2,我们可以观察到and算子和OR算子是互换的。由此证明了对偶定理。

基于对偶原理,利用最大项(SOP)和平均项(POS)方法对布尔函数进行简化。

SOP方法的意思是,产品的总和。在这种方法中,布尔变量的最大项被写为它们的乘积的和。

POS法的意思是和的乘积。在这种方法中,布尔变量的最小项被写成它们的和的乘积。

我们将在以后的教程中简要讨论这些主题。伟德老虎机手机版

德摩根定理

布尔代数涉及二进制数的二进制加法、二进制减法、二进制除法和二进制乘法。与这些基本定律相似,布尔代数系统主要依赖的还有另一个重要定理。这就是德摩根定律。

这也被称为德摩根定理。这个定律的作用取决于二元性的概念。对偶性是指对函数中的运算符和变量进行互换,如用1替换0,用0替换1,用OR替换和,用OR替换和。

德摩根定律就像是二元性原理的延伸。De Morgan提出了两个定理,这将帮助我们解决数字电子学中的代数问题。

德摩根的声明是,

声明1:

“连接的否定就是否定的分离”。或者我们可以把它定义为"两个变量乘积的相加等于各个变量相加的总和"

(a . b) ' = a ' + b '

声明2:

“分离的否定是否定的结合”。或者我们可以把它定义为"两个变量之和的补之和等于每个变量补之和的乘积"

(a + b) ' = a '。B”

真值表

用真值表简单地解释了德摩根定律。

下面给出了De Morgan第一个表述((A.B) ' = A ' + B ')的真值表。

表2

因此,摩根第一定律也可以表示为“非(A和B)等于(非A)或(非B)”。

下面给出了摩根的第二个命题((A + B) ' = A ' .B ')的真值表。

表3

因此,德摩根第一定律也可以表示为“非(A或B)等于(非A)和(非B)”。

盖茨的德摩根定理

demorgan定理可以用与门、或门等基本逻辑门来证明。

For语句1:(A.B) ' = A ' + B '

与与门(输出端有一个非门的与门)的输出等于或门输入端连接两个非门形成的门的输出。可以这样说,

NANDgate=冒泡或门

“与非”门,相当于逆序后接“或”门

对于语句2:(A + B) ' = A '。B”

一个NOR门(输出端有一个NOT门的OR门)的输出等于与门输入端连接两个NOT门形成的门的输出。可以这样说,

NOR门=冒泡和门

与后接与门的反位等价的NOR门

让我们看一些例子来理解如何使用德摩根定理来简化布尔方程。

例1:

用德摩根定理简化下面的布尔方程。

F =(((a . b̅)̅)。(b̅+ c))̅

索尔:

已知F = (((A . b̅)̅)。(b̅+ c))̅

= ((a .b̅)̅)̅+ (b̅+ c))̅

= (a .b̅)+ (b̅̅.c̅)

= (a .b̅)+ (b.c̅)

因此,给定方程的简化形式为F = (A .B̅)+ (B.C̅)

示例2

对设计不良的逻辑电路进行简化,求出输出方程的简化布尔方程。

例子

索尔:

在给定电路中,输出方程为:

(a̅+ c).(b)̅)̅

=((A̅+C)̅)+(AB)̅

(a̅+ c)̅)+ ab

=(A̅̅C̅)+AB

= (ac̅)+ (ab)

因此给定电路的简化输出isF2 = (AC̅)+ (AB)。

共识定理

一致定理是布尔代数中的一个重要定理,用于求解和简化布尔函数。

声明

一致定理指出,当函数中的项彼此是倒数时(例如a和a̅),析取的一致项就被定义了。一致性定理定义为两个表述(标准形式和对偶形式)。他们是

AB+C+BC=AB+C

(a + b)(Ā+ c)(b + c) = (a + b)(Ā+ c)

一致定理的证明

声明1:AB+ĀC+BC=AB+ĀC

Ab + Āc + bc = Ab + Āc + bc .1

(1) (A + Ā = 1

= ab + Āc + ABC + Ābc

(1 + c) + Āc (1 + b)

(1 + B = 1 + C = 1

例子

利用一致定理,证明了A ' bd ' + BCD + ABC ' + AB ' d = BC ' + AD + A ' BC

索尔:

A ' bd ' + BCD + abc ' + ab ' = A ' bd ' + BCD + abc ' + ab ' + A ' bc + bc ' + abd

= AD + a ' bd ' + BCD + abc ' + a ' bc + bc '

= AD + a ' bc + bc ' d

一致对偶定理

一致定理对偶的陈述为

(A + B) (B + C) (' + C) = (A + B) (A + C)

证据

步骤1:将等式左侧化简

(A+B)(B+C)(A'+C)=(A+B)(B+C))(A'+C)

=(ab + ac + bb + bc)(a ' + c)

= (ab + ac + b + bc) (a ' + c)

=(ab + ac + b + bc) (a ' + c)

=(AB+AC+B)(A'+C)

= (b + ab + ac) (a ' + c)

= (b + ab) + ac) (a ' + c)

= (b + ac) (a ' + c)

= a 'b + BC + aa 'c + acc

= a 'b + BC + 0 + ac

= a 'b + BC + ac

步骤2:对等式右边进行化简

(a + b) (a ' + c) = aa ' + a ' b + ac + BC

=0 + a 'b + ac + BC

= a 'b + ac + BC

现在我们可以看到,R.H.S.=L.H.S。

由此证明了一致定理的对偶性。

香农定理的扩张

著名的理论家、数学家克劳德·香农对布尔代数函数的简化问题进行了研究,提出了一些公式。这些被称为香农展开定理。它们用于扩展关于单个变量的布尔函数。

定理1:

f (A1,A2, A3, . . . .艾. . . .An) = Ai。f (A1, A2, A3, . . . .1、……A)+ A̅i。(a1, a2, a3, . . . .0,…一个)

例子:

f (A, B, C, D, E, f) = C。f(A, B, 1, D, E, f) + C̅。f (A, B, 0, D, E, f)

定理2:

f(A1,A2,A3,…Ai,…An)=[Ai+f(A1,A2,A3,…An)]。[A̅i+(A1,A2,A3,…1,…An)]

例子:

f (A, B, C, D, E, f) = (C + f (0 A、B、D、E、f)]。[C̅+ f (A, B, D, E, f))

用香农展开式定理简化布尔函数

练习1:

用香农展开定理展开给定的布尔函数。

(A, B, C, D) = A B̅+ (A C + B

索尔:给定函数为

f(A,B,C,D)=A B̅+(A C+B)D

=[1。B̅+(1。C + b) d] + a̅[0 .]B̅+(0。C + b) d]

=A[B̅+(C+B)D]+A̅[B D]

= a (c + b) d + a̅b d

练习2:

用香农展开定理展开给定的布尔函数。

f(A,B,C,D)=A̅C+(B+AD)C

索尔:

给定的函数

A、B、C、D = A̅C+ (B + AD

[1̅.]C + b + 1。c) + a[0̅.]C + (b + 0)D) C)

=A[0.C+(B+D)C]+A[1.C+(B+0.D)C]

= a (b + d) c + a̅(c + bc)

香农的减少定理

香农约简定理用于约简单变量布尔函数。

定理1:

人工智能。f(A1, A2, A3, . . . .艾. . . ., An) = Ai。f(A1, A2, A3, . . . .1、. . . .一个)

Ai+ f(A1, A2, A3, . . . .艾. . . ., An) = Ai+ f(A1, A2, A3, . . . .0, . . . .一个)

例子:

B。f (A, B, C, D, E, f) = B。f (A, 1, C, D, E, f)

B + f (A, B, C, D, E, f) = B + f (0 C, D, E, f)

定理2:

(A_i)̅。f(A1, A2, A3, . . . .艾. . . ., An) =̅。f(A1, A2, A3, . . . .0, . . . .一个)

(A̅i)̅+f(A1,A2,A3,…Ai,…,An)=(A̅i)̅+f(A1,A2,A3,…1,…,An)

例子:

B̅。f (A, B, C, D, E, f) = B̅。f (A, 0, C, D, E, f)

̅B + f (A, B, C, D, E, f) = B̅+ f (1 C, D, E, f)

用香农约简定理简化布尔函数

练习1:

利用香农约简定理展开给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A [A̅(B + C) + (A + D)]

索尔:给定函数为

f (A, B, C, D) = A [A̅(B + C) + (A + D)]

=一个。[1 ' (b + c) + (1 + d)]

=一个。[0 (b + c) + (1 + d)]

=广告

练习2:

利用香农约简定理展开给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A C ' (B + C) (B + D)

索尔:给定函数为

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A C ' (B + C) (B + D)

= a + 0 ' b + 0 c ' (b + c) (b + d)

= a + 1。B

= a + b

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