布尔逻辑- SOP形式，POS形式

布尔函数表示

开关器件如晶体管的使用产生了布尔代数的一种特殊情况，称为开关代数。在交换代数中，所有的变量都假定两个值中的一个为0和1。

在布尔代数中，0表示逻辑门的“开”或“假”状态。同理，1表示逻辑门的“关闭”状态或“真”状态。

布尔表达式是由变量、常量(0-false和1-true)和结果为真或假的逻辑操作符组成的表达式。

布尔函数是布尔表达式的代数形式。一个n变量布尔函数由f(x1, x2, x3....xn)表示。利用布尔定律和定理，可以简化数字电路的布尔函数。下面简要说明了表示布尔函数的不同方法。

• Sum-of-Products (SOP)的形式
• Product-of-sums (POS)的形式
• 规范的形式

有两种标准形式:

• 最小和项或规范SOP
• 最大乘积术语或规范POS

布尔函数可以用NAND门表示，也可以用K-map (Karnaugh map)方法表示。我们可以通过使用两种标准形式来标准化布尔表达式。

SOP形式-产品和形式

POS形式-和积形式

布尔方程的标准化将使布尔方程的实现、演化和简化更容易、更系统。

Product Sum (SOP)形式

积和(SOP)形式是一种简化逻辑门布尔表达式的方法(或形式)。在这种SOP形式的布尔函数表示中，变量通过AND (product)运算形成乘积项，所有乘积项进行或运算(求和或相加)，得到最终的函数。

通过使用布尔加法操作将两个或多个乘积项相加(或相加)，可以形成乘积和形式。在这里，乘积项使用与(AND)操作定义，和项使用或(OR)操作定义。

积的和形式又称为析取范式，因为积项是或在一起的，析取运算是逻辑的或。产品和形式也被称为标准SOP。

SOP形式表示最适合在FPGA(现场可编程门阵列)中使用。

例子

Ab + ABC + cde

(ab)̅+ ABC + CD e̅

SOP形式可以通过

• 为每个输入组合写一个AND项，产生HIGH输出。
• 如果值为1，则写入输入变量，如果值为0，则写入变量的补数。
• 或与项，以获得输出函数。

例如:多数函数的布尔表达式F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC

真值表:

现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。

检查

根据幂等律，我们知道

([abc + abc)] + abc) = (abc + abc) = abc

函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC

= a ' bc + ab ' c + abc ' + ([abc + abc)] + abc)

= (abc + abc ') + (abc + ab ' c) + (abc + a ' bc)

= ab (c + c ') + a (b + b ') c + (a + a ') BC

= ab + BC + ac。

和积(POS)表

求和形式的乘积是一种简化逻辑门布尔表达式的方法(或形式)。在这种POS形式中，所有变量都是或的，即写成和，形成和项。

所有这些求和项被与(乘)在一起，得到求和的乘积形式。这种形式与SOP形式正好相反。所以这也可以说是“SOP形式的双重”。

这里，和式项使用OR操作定义，积式项使用and操作定义。当两个或多个和项乘以一个布尔或运算时，结果输出表达式将是和的乘积形式或POS形式。

和的乘积形式也被称为合取范式，因为和项是与的，合取操作是逻辑的和。和的乘积形式也被称为标准POS。

例子

(a + b) * (a + b + c) * (c + d)

(a + b)̅* (c + d + e̅)

POS表可以通过

• 为每个输入组合写一个OR项，产生LOW输出。
• 如果值为0，则写入输入变量，如果值为1，则写入变量的补数。
• 和OR项，得到输出函数。

例如:多数函数的布尔表达式F = (A + B + C) (A + B + C ') (A + B ' + C) (A ' + B + C)

现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。

检查

根据幂等律，我们知道

[(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) = ((A + B + C)) (A + B + C) = (A + B + C)

现在的函数

F = (a + b) (b + c) (a + c)

= (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C”)][(A + B + C) (A + B + C)) ((A + B + C) (A + B + C)]

= [(A + B) + (C * C ')) ((B + C) + (*)) ((A + C) + (B * B”)

= [(A + B) + 0] [(B + C) + 0] [(A + C) + 0) = (A + B) (B + C) (A + C)

标准形式(标准SOP和POS形式)

任何表示为最小项和或最大项乘积的布尔函数都被称为“标准形式”。

它主要涉及两个布尔术语，“minterms”和“maxterms”。

当布尔表达式的SOP形式是标准形式时，它的每一个乘积项被称为“minterm”。因此，乘积和函数的标准形式也被称为“最小项标准形式”或“最小项和”或标准标准SOP形式。

类似地，当布尔表达式的POS形式为标准形式时，它的每个和项被称为“maxterm”。因此，和的乘积函数的标准形式也被称为“最大值标准形式或和的乘积或标准标准POS形式”。

最小条件

最小项被定义为n个变量的乘积项，其中n个变量中的每一个都将以其补足或非补足形式出现一次。最小项记为mi，其中i在0≤i < 2ⁿ的范围内。

如果变量的值被赋值为0，则该变量为补全形式;如果变量的值被赋值为1，则该变量为非补全形式。

对于一个2变量(x和y)布尔函数，可能的minterms是:

X ' y ' X ' y xy '和xy。

对于一个3变量(x, y和z)的布尔函数，可能的minterms是:

x x没有'z’,没有'z x 'yz’,x 'yz, xy 'z、xy 'z xyz, xyz。

• 1 - Minterms =函数F = 1的Minterms。
• 0 - Minterms =函数F = 0的Minterms。

任何布尔函数都可以表示为其1- min项的和(OR)。方程的表达式为

• F(变量列表)= Σ(1-min term index列表)

例:F (x, y, z) = Σ (3,5,6,7)

该函数的逆函数可以表示为其0- min项的和(或)。方程的表达式为

• F(变量列表)= Σ(0-min term index列表)

例如:F ' (x, y, z) = Σ (0,1,2,4)

乘积和表达式的标准形式示例(最小项标准形式):

i) Z = XY + XZ '

ii) F = XYZ ' + X ' yz + X ' yz ' + XY ' z + XYZ

在标准SOP形式中，n个变量的最大可能乘积项由2ⁿ给出。对于两个变量的方程，乘积项是22 = 4。同样，对于3个变量方程，乘积项为23 = 8。

马克斯条款

max项定义为n个变量的乘积，范围为0≤i < 2ⁿ。max项记为Mi，在max项中，如果赋值为1，则对每个变量进行补全，如果赋值为0，则不对每个变量进行补全。

对于一个2变量(x和y)布尔函数，可能的最大项是:

X + y, X + y '， X ' + y, X ' + y '。

对于3个变量(x, y和z)的布尔函数，可能的maxterms是:

x + y + z、x + y + z, x + y + z、x + y + z, x的+ y + z、x + y + z’,x + y + z和x + y + z。

• 1 -最大项=函数F = 1的最大项。
• 0 -最大项=函数F = 0的最大项。

任何布尔函数都可以表示为它的0 - max项的乘积(AND)。方程的表达式为

• F(变量列表)= Π (0-max项索引列表)

例:F (x, y, z) = Π (0,1,2,4)

该函数的逆函数可以表示为其1 - max项的乘积(AND)。方程的表达式为

• F(变量列表)= Π (1-max项索引列表)

例如:F ' (x, y, z) = Π (3,5,6,7)

和积表达式的标准形式的例子(最大项标准形式):

i. Z = (X + Y) (X + Y ')

2F = (x ' + y + z ') (x ' + y + z) (x ' + y ' + z ')

在标准POS形式中，n个变量的最大可能和项由2ⁿ给出。对于两个变量的方程，和项是22 = 4。同样，对于3个变量方程，求和项为23 = 8。

表中有2n个min项和2n个max项

下表将使您了解3个变量的平均项和最大项的表示。

标准形式的转换

我们可以用另一种标准形式来表示一个标准形式的方程，即我们可以用POS形式来表示SOP形式的方程，用SOP形式来表示POS形式的方程。为了转换标准方程，我们在列出方程的索引号之后交换Σ和Π符号，这些索引号被排除在方程的原始形式之外。

关于布尔函数，需要记住的重要一点是，SOP和POS表单彼此是对偶的。转换方程的标准形式有两个步骤。他们是

第一步:交换运算符号Σ和Π。

第二步:使用德·摩根的对偶原则来计算布尔函数的索引数，或者写出没有在给定形式的方程中出现的项的索引。

将SOP表格转换为POS表格

要将SOP表单转换为POS表单，首先应该将Σ更改为Π，然后编写给定布尔函数中缺失变量的数值索引。

例子:

SOP函数

F =∑A, B, C (0,2,3,5,7) = A ' B ' C ' + A ' B ' C ' + A ' B ' C + ABC ' + ABC用POS形式写成

步骤1:将操作符号改为Π

步骤2:写出术语001、100和110的缺失索引。现在写出这些项的和形式。

001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

把新方程写成POS形式，

F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C) * (A + B + C) * (A + B + C)

将POS表转换为SOP表

要将POS表单转换为SOP表单，首先应该将Π更改为Σ，然后编写给定布尔函数中缺失变量的数值索引。

POS函数F = Π A, B, C (2,3,5) = AB ' C ' + AB ' C + ABC '用SOP形式写成

步骤1:将操作符号改为Σ

步骤2:写出术语，000,001,100,110和111的缺失索引。现在写出这些术语的乘积形式。

000 = a ' * b ' * c ' 001 = a ' * b ' * c 100 = a ' * b ' * c '

110 = a * b * c

将新方程写成SOP形式，

F =ΣA, B, C(0、1、4、6、7)= (A * B的* C ') + (A * B的* C) + (A * B * C) + (A * B * C”)+ (A * B * C)

将SOP格式转换为标准或规范的SOP格式

我们可以把所有的变量都包含在SOP形式方程的每一乘积项中，而SOP形式并不是所有的变量都包含在标准的SOP形式中。通过布尔代数定律(A + A ' = 1)和以下步骤，可以将标准SOP形式函数转换为标准SOP形式。

步骤1:

通过将每一个非标准乘积项乘以它的缺失变量和它的补变量的和，得到两个乘积项

步骤2:

通过重复步骤1，直到所有结果产品项包含所有变量

通过这两个步骤，可以将SOP函数转化为标准的SOP函数。在这个过程中，对于函数中每一个缺失的变量，乘积项的数量将增加一倍。

例子:

将非标准SOP函数F = x y + x z + y z进行转换

索尔:

F = x y + x z + y z

= x y (z + z ') + x (y + y ') z + (x + x ') y z

= x y z + x y z ' + x y z + x y ' z + x y z + x ' y z

= x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z

标准SOP形式是F = x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z

将POS表单转换为标准POS表单或规范POS表单

我们可以将POS式方程中每个产品项的所有变量都包含在内，而POS式方程中并没有所有变量都包含在标准POS式方程中。通过使用布尔代数定律(A * A ' = 0)并遵循以下步骤，可以将普通POS形式函数转换为标准POS形式。

步骤1:

通过将每一个非标准和项加到其缺失变量和其补变量的乘积中，得到两个和项

步骤2:

应用布尔代数定律，A + BC = (A + B) * (A + C)

步骤3:

通过重复步骤1，直到所有结果和项包含所有变量

通过这三个步骤，我们可以将POS功能转换为标准的POS功能。

例子:

F = (A + B + C) * (B + C + D) * (A + B + D ' + C”)

在第一项中，缺少变量D或D '，所以我们加上D*D ' = 1。然后

(' + B + C + D * D ') = (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')

类似地，在第二项中，缺少了变量A或A '，所以我们给它加上A*A ' = 1。然后

(B + C + D + *”)= (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')

第三项已经是标准形式了，因为它包含了所有的变量。现在函数的标准POS形式方程是

F = (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (' + B + C + D ') * (A + B + D ' + C”)