布尔函数表示
开关器件如晶体管的使用产生了布尔代数的一种特殊情况,称为开关代数。在交换代数中,所有的变量都假定两个值中的一个为0和1。
在布尔代数中,0表示逻辑门的“开”或“假”状态。同理,1表示逻辑门的“关闭”状态或“真”状态。
布尔表达式是由变量、常量(0-false和1-true)和结果为真或假的逻辑操作符组成的表达式。
布尔函数是布尔表达式的代数形式。一个n变量布尔函数由f(x1, x2, x3....xn)表示。利用布尔定律和定理,可以简化数字电路的布尔函数。下面简要说明了表示布尔函数的不同方法。
- Sum-of-Products (SOP)的形式
- Product-of-sums (POS)的形式
- 规范的形式
有两种标准形式:
- 最小和项或规范SOP
- 最大乘积术语或规范POS
布尔函数可以用NAND门表示,也可以用K-map (Karnaugh map)方法表示。我们可以通过使用两种标准形式来标准化布尔表达式。
SOP形式-产品和形式
POS形式-和积形式
布尔方程的标准化将使布尔方程的实现、演化和简化更容易、更系统。
Product Sum (SOP)形式
积和(SOP)形式是一种简化逻辑门布尔表达式的方法(或形式)。在这种SOP形式的布尔函数表示中,变量通过AND (product)运算形成乘积项,所有乘积项进行或运算(求和或相加),得到最终的函数。
通过使用布尔加法操作将两个或多个乘积项相加(或相加),可以形成乘积和形式。在这里,乘积项使用与(AND)操作定义,和项使用或(OR)操作定义。
积的和形式又称为析取范式,因为积项是或在一起的,析取运算是逻辑的或。产品和形式也被称为标准SOP。
SOP形式表示最适合在FPGA(现场可编程门阵列)中使用。
例子
Ab + ABC + cde
(ab)̅+ ABC + CD e̅
SOP形式可以通过
- 为每个输入组合写一个AND项,产生HIGH输出。
- 如果值为1,则写入输入变量,如果值为0,则写入变量的补数。
- 或与项,以获得输出函数。
例如:多数函数的布尔表达式F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC
真值表:
现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。
检查
根据幂等律,我们知道
([abc + abc)] + abc) = (abc + abc) = abc
函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC
= a ' bc + ab ' c + abc ' + ([abc + abc)] + abc)
= (abc + abc ') + (abc + ab ' c) + (abc + a ' bc)
= ab (c + c ') + a (b + b ') c + (a + a ') BC
= ab + BC + ac。
和积(POS)表
求和形式的乘积是一种简化逻辑门布尔表达式的方法(或形式)。在这种POS形式中,所有变量都是或的,即写成和,形成和项。
所有这些求和项被与(乘)在一起,得到求和的乘积形式。这种形式与SOP形式正好相反。所以这也可以说是“SOP形式的双重”。
这里,和式项使用OR操作定义,积式项使用and操作定义。当两个或多个和项乘以一个布尔或运算时,结果输出表达式将是和的乘积形式或POS形式。
和的乘积形式也被称为合取范式,因为和项是与的,合取操作是逻辑的和。和的乘积形式也被称为标准POS。
例子
(a + b) * (a + b + c) * (c + d)
(a + b)̅* (c + d + e̅)
POS表可以通过
- 为每个输入组合写一个OR项,产生LOW输出。
- 如果值为0,则写入输入变量,如果值为1,则写入变量的补数。
- 和OR项,得到输出函数。
例如:多数函数的布尔表达式F = (A + B + C) (A + B + C ') (A + B ' + C) (A ' + B + C)
现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。
检查
根据幂等律,我们知道
[(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) = ((A + B + C)) (A + B + C) = (A + B + C)
现在的函数
F = (a + b) (b + c) (a + c)
= (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)
= [(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)
= [(A + B + C) (A + B + C”)][(A + B + C) (A + B + C)) ((A + B + C) (A + B + C)]
= [(A + B) + (C * C ')) ((B + C) + (*)) ((A + C) + (B * B”)
= [(A + B) + 0] [(B + C) + 0] [(A + C) + 0) = (A + B) (B + C) (A + C)
标准形式(标准SOP和POS形式)
任何表示为最小项和或最大项乘积的布尔函数都被称为“标准形式”。
它主要涉及两个布尔术语,“minterms”和“maxterms”。
当布尔表达式的SOP形式是标准形式时,它的每一个乘积项被称为“minterm”。因此,乘积和函数的标准形式也被称为“最小项标准形式”或“最小项和”或标准标准SOP形式。
类似地,当布尔表达式的POS形式为标准形式时,它的每个和项被称为“maxterm”。因此,和的乘积函数的标准形式也被称为“最大值标准形式或和的乘积或标准标准POS形式”。
最小条件
最小项被定义为n个变量的乘积项,其中n个变量中的每一个都将以其补足或非补足形式出现一次。最小项记为mi,其中i在0≤i < 2ⁿ的范围内。
如果变量的值被赋值为0,则该变量为补全形式;如果变量的值被赋值为1,则该变量为非补全形式。
对于一个2变量(x和y)布尔函数,可能的minterms是:
X ' y ' X ' y xy '和xy。
对于一个3变量(x, y和z)的布尔函数,可能的minterms是:
x x没有'z’,没有'z x 'yz’,x 'yz, xy 'z、xy 'z xyz, xyz。
- 1 - Minterms =函数F = 1的Minterms。
- 0 - Minterms =函数F = 0的Minterms。
任何布尔函数都可以表示为其1- min项的和(OR)。方程的表达式为
- F(变量列表)= Σ(1-min term index列表)
例:F (x, y, z) = Σ (3,5,6,7)
该函数的逆函数可以表示为其0- min项的和(或)。方程的表达式为
- F(变量列表)= Σ(0-min term index列表)
例如:F ' (x, y, z) = Σ (0,1,2,4)
乘积和表达式的标准形式示例(最小项标准形式):
i) Z = XY + XZ '
ii) F = XYZ ' + X ' yz + X ' yz ' + XY ' z + XYZ
在标准SOP形式中,n个变量的最大可能乘积项由2ⁿ给出。对于两个变量的方程,乘积项是22 = 4。同样,对于3个变量方程,乘积项为23 = 8。
马克斯条款
max项定义为n个变量的乘积,范围为0≤i < 2ⁿ。max项记为Mi,在max项中,如果赋值为1,则对每个变量进行补全,如果赋值为0,则不对每个变量进行补全。
对于一个2变量(x和y)布尔函数,可能的最大项是:
X + y, X + y ', X ' + y, X ' + y '。
对于3个变量(x, y和z)的布尔函数,可能的maxterms是:
x + y + z、x + y + z, x + y + z、x + y + z, x的+ y + z、x + y + z’,x + y + z和x + y + z。
- 1 -最大项=函数F = 1的最大项。
- 0 -最大项=函数F = 0的最大项。
任何布尔函数都可以表示为它的0 - max项的乘积(AND)。方程的表达式为
- F(变量列表)= Π (0-max项索引列表)
例:F (x, y, z) = Π (0,1,2,4)
该函数的逆函数可以表示为其1 - max项的乘积(AND)。方程的表达式为
- F(变量列表)= Π (1-max项索引列表)
例如:F ' (x, y, z) = Π (3,5,6,7)
和积表达式的标准形式的例子(最大项标准形式):
i. Z = (X + Y) (X + Y ')
2F = (x ' + y + z ') (x ' + y + z) (x ' + y ' + z ')
在标准POS形式中,n个变量的最大可能和项由2ⁿ给出。对于两个变量的方程,和项是22 = 4。同样,对于3个变量方程,求和项为23 = 8。
表中有2n个min项和2n个max项
下表将使您了解3个变量的平均项和最大项的表示。
标准形式的转换
我们可以用另一种标准形式来表示一个标准形式的方程,即我们可以用POS形式来表示SOP形式的方程,用SOP形式来表示POS形式的方程。为了转换标准方程,我们在列出方程的索引号之后交换Σ和Π符号,这些索引号被排除在方程的原始形式之外。
关于布尔函数,需要记住的重要一点是,SOP和POS表单彼此是对偶的。转换方程的标准形式有两个步骤。他们是
第一步:交换运算符号Σ和Π。
第二步:使用德·摩根的对偶原则来计算布尔函数的索引数,或者写出没有在给定形式的方程中出现的项的索引。
将SOP表格转换为POS表格
要将SOP表单转换为POS表单,首先应该将Σ更改为Π,然后编写给定布尔函数中缺失变量的数值索引。
例子:
SOP函数
F =∑A, B, C (0,2,3,5,7) = A ' B ' C ' + A ' B ' C ' + A ' B ' C + ABC ' + ABC用POS形式写成
步骤1:将操作符号改为Π
步骤2:写出术语001、100和110的缺失索引。现在写出这些项的和形式。
001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)
把新方程写成POS形式,
F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C) * (A + B + C) * (A + B + C)
将POS表转换为SOP表
要将POS表单转换为SOP表单,首先应该将Π更改为Σ,然后编写给定布尔函数中缺失变量的数值索引。
POS函数F = Π A, B, C (2,3,5) = AB ' C ' + AB ' C + ABC '用SOP形式写成
步骤1:将操作符号改为Σ
步骤2:写出术语,000,001,100,110和111的缺失索引。现在写出这些术语的乘积形式。
000 = a ' * b ' * c ' 001 = a ' * b ' * c 100 = a ' * b ' * c '
110 = a * b * c
将新方程写成SOP形式,
F =ΣA, B, C(0、1、4、6、7)= (A * B的* C ') + (A * B的* C) + (A * B * C) + (A * B * C”)+ (A * B * C)
将SOP格式转换为标准或规范的SOP格式
我们可以把所有的变量都包含在SOP形式方程的每一乘积项中,而SOP形式并不是所有的变量都包含在标准的SOP形式中。通过布尔代数定律(A + A ' = 1)和以下步骤,可以将标准SOP形式函数转换为标准SOP形式。
步骤1:
通过将每一个非标准乘积项乘以它的缺失变量和它的补变量的和,得到两个乘积项
步骤2:
通过重复步骤1,直到所有结果产品项包含所有变量
通过这两个步骤,可以将SOP函数转化为标准的SOP函数。在这个过程中,对于函数中每一个缺失的变量,乘积项的数量将增加一倍。
例子:
将非标准SOP函数F = x y + x z + y z进行转换
索尔:
F = x y + x z + y z
= x y (z + z ') + x (y + y ') z + (x + x ') y z
= x y z + x y z ' + x y z + x y ' z + x y z + x ' y z
= x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z
标准SOP形式是F = x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z
将POS表单转换为标准POS表单或规范POS表单
我们可以将POS式方程中每个产品项的所有变量都包含在内,而POS式方程中并没有所有变量都包含在标准POS式方程中。通过使用布尔代数定律(A * A ' = 0)并遵循以下步骤,可以将普通POS形式函数转换为标准POS形式。
步骤1:
通过将每一个非标准和项加到其缺失变量和其补变量的乘积中,得到两个和项
步骤2:
应用布尔代数定律,A + BC = (A + B) * (A + C)
步骤3:
通过重复步骤1,直到所有结果和项包含所有变量
通过这三个步骤,我们可以将POS功能转换为标准的POS功能。
例子:
F = (A + B + C) * (B + C + D) * (A + B + D ' + C”)
在第一项中,缺少变量D或D ',所以我们加上D*D ' = 1。然后
(' + B + C + D * D ') = (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')
类似地,在第二项中,缺少了变量A或A ',所以我们给它加上A*A ' = 1。然后
(B + C + D + *”)= (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')
第三项已经是标准形式了,因为它包含了所有的变量。现在函数的标准POS形式方程是
F = (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (' + B + C + D ') * (A + B + D ' + C”)
15反应
如何证明sop= pos的补数
将SOP转换为标准SOP有什么需要
pos&sop有什么不同?
Pos表示和的乘积。例如:- (a + b)。(b + c)
SOP为乘积和。例如:公元前- ab +
SOP和POS的区别在于,SOP是使用最小项或乘积项表示布尔表达式的一种方式,而POS是使用最大项或和项表示布尔表达式的一种方式。
在SOP中,我们以(1)为非补数,(0)为补数,SOP的完整形式是用(m)最小项(A ' .B.C ')表示的乘积的和。
在pos中,我们取(0)为非补语,(1)为补语和的完整形式
Pos是和的乘积,由(m) maxterm (a ' + b ' + c)表示
取补体或sop的条形,然后应用布尔逻辑和去摩根定理。
(ab + bc) ' = [(ab) ' * (bc) ']
= [(a ' + b ') * (b ' + c ')]
(SOP) ' = pos
类似的SOP = (pos) '
它也可以用真值表来证明。
A ' + b ') '
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 1 1
它的错误
例子:
SOP函数
F =∑A, B, C (0,2,3,5,7) = A ' B ' C ' + A ' B ' C ' + A ' B ' C + ABC ' + ABC用POS形式写成
步骤1:将操作符号改为Π
步骤2:写出术语001、100和110的缺失索引。现在写出这些项的和形式。
001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)
把新方程写成POS形式,
F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C) * (A + B + C) * (A + B + C)
回答这个问题
(a + b) (c + d ')
将a(b+c)(c+d)转换为标准pos形式
SOP到pos的转换方法在变量选择上是正确的,但存在错误
SOP函数
F =∑A, B, C (0,2,3,5,7) = A ' B ' C ' + A ' BC ' + A ' BC + AB ' C + ABC,经高塔玛莱修正后写成POS形式
步骤1:将操作符号改为Π
步骤2:写出术语001、100和110的缺失索引。现在写出这些项的和形式。
001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)
把新方程写成POS形式,
F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C”)* (' + B + C) * (A + B + C)由gautam纠正
使用kmap简化布尔表达式f(a,b,c)=sum(3,4,6,7)。
sop&pos有什么用
将下列表达式转换为sop和pos形式:Y=A + AB + ABC