傅立叶系列|基础知识,方程,傅立叶系数的推导

在1800年代初期,一位名为“让·巴蒂斯特·巴蒂斯特(Jean Baptiste)男爵的法国数学家约瑟夫·福尼尔(Joseph Fourier)研究了不同物体中热的传导,并对该主题进行了数学分析,后来成为著名的傅立叶系列。在通信,雷达,成像,音频等领域中,有许多工程问题。涉及傅立叶seres的概念(还有傅立叶变换,这是其他时间的话题)。例如,通信领域中的所有功率信号都与傅立叶级数密切相关,而能量信号具有傅立叶变换。

但是傅立叶系列到底是什么?什么是傅立叶系数以及如何得出它们?傅立叶系列的应用是什么?我们将在本指南中找到所有这些问题的答案。

介绍

1807年,约瑟夫·富耶尔(Joseph Fourier)介绍了他的数学模型,并于1807年向巴黎科学院的科学学院介绍了他的工作时,他们批评并拒绝了他的作品。但是后来,当他在1822年在他的“ThéorieAnalytique de la Chaleur”(或热的分析理论)中发表这项作品时,它成为工程学不可或缺的一部分。

尽管最初的数学分析是对金属热传导的研究,但工程师发现他们可以将相同的技术应用于其他数学,工程和物理问题。

如今,您可以看到傅立叶系列在通信领域(雷达,卫星,一般无线),声学,图像处理(一般信号处理),电气,光学器件等非常重要。

什么是傅立叶系列?

好的。足够的介绍。现在让我们关注主要问题:什么是傅立叶系列?傅立叶系列是从正弦和余弦函数方面的无限序列。

周期性波形的傅立叶系列是无限的正弦和余弦波形,其中每个波(正弦和余弦)的频率是周期波形的基本频率的积分倍数。

没有任何数学分析,这些陈述听起来很荒谬:为什么我们将简单的波形变成三角函数的复杂组合?

实际上,所得的傅立叶系列简化了不同频率下主函数(或波形)的信号分析过程。我们可以为具有不连续值及其导数的任何周期性或连续函数或函数得出傅里叶序列。

在进一步进行之前,我们需要了解我们前面提到的基本术语:周期功能。如果常数t> 0,f(x + t)= f(x),则函数f(x)是周期性的。在这里,T被称为功能的时期。

周期功能:F(x + t)= f(x),t> 0

f(x)= f(x + 2t)= f(x + 3t)=…t是函数f(x)的周期。函数f(x)在相等的间隔后重复自我。三角函数,例如SIN(X),COS(X),TAN(X)等是周期函数的一些简单示例。

现在,回到傅立叶系列,如果f(x)是一个周期性的函数,那么我们可以将其表示为无限的正弦和余弦函数,如下:

傅立叶系列图像1

在这里,0, 一种n和bn被称为傅立叶系数。这些系数的值是定义函数的傅立叶序列的原因。常数a0是周期函数的平均值n和bn是各种正弦函数的振幅。

我们可以计算一个0, 一种n和bn使用以下表达式。例如,如果f(x)是周期函数,则其在t≤x≤t+2π间隔中其傅立叶级数的傅立叶系数如下:

傅立叶系列-2

一个方程0, 一种n和bn被称为Euler的公式。

在先前的傅立叶系列方程中,我们同时使用了正弦和余弦函数。但是,我们可以进一步修改方程式以仅根据正弦体给出方程式。

我们有一个术语ncos(nx) + bn方程式中的罪(nx)。我们可以按以下方式重写:

傅立叶系列-Image-3

使用这些术语,我们只能得出正弦曲线的函数的傅立叶序列表达,为:

傅立叶系列-4

在上面的方程式中,请注意,对于n = 1,正弦数的频率与主函数(在这种情况下为“ x”)相同,并且是主波形的基本频率。随后的所有频率(对于n = 2,n = 3等)都是该基本频率的积分倍数,我们称之为谐波频率。

因此,对于n = 2,相应正弦的频率称为第二谐波。同样,对于n = 3,它是第三个谐波等。

傅立叶系数的推导

从上面的讨论中可以明显看出傅立叶系数A0, 一种n和bn是我们需要计算的任何傅立叶级数的临界值。我们已经看到了这些常数的表达方式,但让我们尝试得出它们。

为此,让我们假设f(x)是一个周期性函数,其间隔[t,t+2π]的傅立叶序列,即t≤x≤t≤t+2π由:

傅立叶系列-5

表达0

在上面的方程式中,让我们将两侧从x = t到x = t+2π进行集成。我们得到:

傅立叶系列-6

从上面的方程式,我们可以得到一个表达式0作为:

傅立叶系列-7

表达n

现在,再次考虑原始的傅立叶系列表达式。将两侧乘以“ cos(mx)”,并将结果方程从x = t到x = t+2π进行集成。

傅立叶系列-8

在上面的表达式中,如果仔细观察,则对应于A的积分0和bn(第一和第三)始终为零。来到第二个积分对应于n,对于所有m≠n情况,它变为零,唯一可能的结果是值m = n。所以,

傅立叶系列-9

从上面的方程式,我们可以得到一个表达式n作为:

傅立叶序列-10

b的表达n

现在,再次考虑原始系列表达式。将两侧乘以“ SIN(MX)”,并将结果方程从X = T到X = T+2π进行集成。

傅立叶系列图像11

在上面的表达式中,积分对应于a0n(第一和第二)始终为零。来到对应B的第三个积分n,对于所有m≠n情况,它变为零,唯一可能的结果是值m = n。所以,

傅立叶系列图像12

从上面的方程式,我们可以获取B的表达n作为:

傅立叶系列图像13

如何获得函数f(x)的傅立叶序列?

Peter Gustav Lejeune Dirichlet制定了足够的条件,以使周期性功能满足才能得出傅立叶系列。这些被称为“ Dirichlet的条件”。

我们可以以其傅立叶系列形式表达任何函数f(x),为:

傅立叶系列-5

在哪里0, 一种n和bn如果满足以下“足够条件”,则为常数。

  • 函数f(x)是一个周期性的,单值,定义明确且有限的函数。
  • 在任何时期,它都有有限数量的不连续性。
  • F(x)在有限的间隔内具有有限数量的最大值和最小值。

如果满足这些条件,那么我们可以使用以下步骤获得任何函数的傅立叶级数:

假设相对于该函数的串联的通用形式如下:

傅立叶系列-5

计算一个值0使用以下公式:

傅立叶系列-7

计算一个值n使用以下表达式:

傅立叶序列-10

计算B的值n使用以下公式:

傅立叶系列图像13

现在,替换一个值0, 一种n和bn在原始表达式(从步骤1中)中,您具有函数f(x)的最后一个傅立叶序列。

傅立叶系列应用

纯粹用正弦的任何波形(或功能)的概念是数学,工程(电子,通信,机械等),声学,图像和视频处理的强大工具。

傅立叶系列和傅立叶变换共同构成了一组新的数学建模,称为傅立叶分析,在几种科学应用中非常重要,以解决普通和部分微分方程,信号处理,统计,地震量,海洋学,声纳,密码学等等。

结论

这是傅立叶系列的介绍性指南。约瑟夫·傅立叶(Joseph Fourier)开发了一种金属中热传导的数学模型,后来成为傅立叶系列。在这种情况下,我们可以纯粹以正弦的形式表示任何连续的,周期性的功能(波形)。我们已经看到了基本的傅立叶系列表达式,傅立叶系数,Dirichlet的条件等等。

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